O instituto, fundado pelos matemáticos Leopoldo Nachbin, Maurício Peixoto e Lélio Gama, tem como objetivo pesquisa em matemática e a formação acadêmica, para mestrado e doutorado.
Criado pela Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) um anos após a sua própria criação, sendo a primeira unidade de pesquisa. Inicialmente, ocupou uma sala do Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF), na Praia Vermelha, sendo o seu primeiro diretor Lélio Gama.
Em 1957, mudou a sua sede para a rua São Clemente, em Botafogo e os pesquisadores Elon Lages Lima e Paulo Ribenboim integraram-se ao grupo de pesquisadores.
Em 1962, passou a conceder títulos de mestre e doutor mediante convênio com a Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ).
Em 1966, Lindolpho de Carvalho Dias assumiu a direção, substituindo Lélio Gama e, a partir de 1967, o instituto passou a contar com apoio financeiro do então Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico (BNDE, atualmente BNDES). No ano seguinte, além do apoio do BNDES e do CNPq, passou a contar com recursos da Financiadora de Estudos e Projetos (FINEP) e ampliou seu quadro significativamente.
Assim, estabeleceu programas regulares de mestrado e doutorado, a partir de 1970. E, no ano seguinte, foi a primeira instituição em matemática a ter mandato do Conselho Federal de Educação (hoje Conselho Nacional de Educação) para outorgar os graus de mestre e doutor.
Em 1979, foi iniciada a construção da sede própria, na estrada Dona Castorina, no Jardim Botânico, inaugurada em 1981 com um "Simpósio Internacional de Sistemas Dinâmicos".
Em 2000, foi transformada em organização social, tornando-se instituição privada contratada pelo governo federal.
É sede permanente da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), criada em 1969. Entre 1990 a 1998, foi sede da União Internacional de Matemática (IMU), fato até então inédito fora dos países da Europa Ocidental e América do Norte.
Em 2014, um terreno de 250 mil metros quadrados, adjacente ao que o IMPA ocupa, foi doado para a expansão de suas instalações físicas. O projeto da nova edificação já está pronto. Ela abrigará residência para estudantes e visitantes, bem como ambientes acadêmicos.
Luiz Inácio Lula da Silva foi o primeiro e único presidente do Brasil a visitar o IMPA. A visita aconteceu em 15 de abril de 2009.
Vida de matemático não é apenas enfurnada numa sala fazendo pesquisa. Alguns membros do IMPA apostam numa rotina saudável e vão ao instituto de bicicleta, como o diretor-adjunto Claudio Landim e os pesquisadores Alexei Mailybaev e José Espinar, por exemplo.
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